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第60章

中国古代科学家传记-第60章

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北京市中国书店,1986。

研究文献

'8'沈渝庆、陈衍:福建通志·蔡襄传,1938。
'9' (清)黄任、郭赓武:泉州府志·卷十·洛阳桥,泉州志编委会刻
印,1984。
'10'金秋鹏:蔡襄及其科学贡献,目然科学史研究,8(1989),3,第
284—292 页。
贾宪

郭书春
贾宪籍贯、生卒年不详,活动于11 世纪上半叶。数学。


贾宪于北宋仁宗时任左班殿直,是三班小使臣,属武职。他的老师楚
衍是北宋前期的著名天文学家、数学家,开封胙城(今河南延津东北)人,
“于《九章》、《缉古》、《缀术》、《海岛》诸算经尤得其妙”,天圣
元年(1023)与宋行古等修《崇天历》,后与周琮等共同主持司天监。时人
称贾宪“运算亦妙,有书传于世”。贾宪著书有两种,一为《黄帝九章算
经细草》9 卷,一为《算法■古集》6 卷。后者已失传。原以为前者也已失
传。察杨辉以贾宪《黄帝九章算经细草》为底本作《详解九章算法》,在
序中自称“择八十题以为矜式,自余一百六十六问,无出前意,不敢废先
贤之文,删留题次,习者可以闻一知十”,而现存《宜稼堂丛书》本《详
解九章算法》仅商功、均输、盈不足、方程、勾股四卷半就有92 问含有《九
章算术》本文、魏刘徽注、唐李淳风等注释之外的内容,若全书,则更远
远超过80 问;又杨辉自述他在《九章算术》9 卷中“恐问隐而添题解,见
法隐而续释注,刊大小字以明法草,僭比类题以通俗务”,知杨辉所作者
仅“解题”、“比类”及部分注释,因而断定,贾宪为《九章算术》所作
细草亦系杨辉所未废的先贤之文而被照录;现存杨辉《详解九章算法》(包
括《永乐大典》卷16343,16344 所引及《宜稼堂丛书》本)中《九章算术》
本文之外用大字排印、抄录的题目、法(术)、草及这些法(术)、草中部分
小字的注释,便是贾宪细草的内容,大约占贾宪全书的2/3。唐初李淳风


等整理刘徽注《九章算术》等汉唐十部算经,是为中国筹算数学框架奠基
和理论体系形成时期的总结。此后约400 年间,数学在天文历法运算中的
应用及改进乘除法方面有所进步,其他方面进展却不大,而在孕育着新的
突破。实现这个突破,把中国数学推向一个新阶段的正是贾宪。他改进了
传统的开方法,创造了开方作法本源和增乘开方法,对中国古代数学的算
法理论做出杰出贡献。

贾宪的第一个贡献是提出立成释锁法并创造开方作法本源。求二次及
其以上次数方程的正根,中国古代统称为开方术。开方在宋元时又称为释

锁。《九章算术》对求形如A, 


A的正根提出了完整的开平方、开立
方程序,但在求根的每位得数的最后一步及求减根方程时显得繁琐。魏刘
徽、南北朝《孙子算经》等作了某些改进。贾宪则继承了《九章算术》、
刘徽、《孙子算经》等的长处,弥补了它们的不足,提出了立成释锁法。
如开平方的程序是:作4 行布算,依次是商(根)、实(被开方数或常数项)、
方法(一次项系数)、下法(二次项系数,此处是1)。将下法自右向左隔一
位移1 步,至实的首位而止;以商的第1 位得数乘下法,置于方法,以上
商乘方法,减实;以2 乘方法,退1 步为廉,下法退2 步,得出减根方程,
再如法求第2 位得数。贾宪的方法与现今方法无异。立成是唐宋时期历算
家列的算表。顾名思义,立成释锁法是利用一种算表进行开方。这种算表
便是开方作法本源,今称贾宪三角。在欧洲,它被称为帕斯卡三角,是法
国数学家帕斯卡在17 世纪初创造的,比贾宪晚出600 年左右。贾宪三角是
将整次幂二项式系数(a+b)n(n=0,1,2,。)自上而下排成一个三角形,如
图1。■

图1“开方作法本源”图(据《永乐大典》卷16344)
贾宪三角下面有五句话,前三句“左■乃积数,右■乃隅算,中藏者皆廉”
说明了它的结构,即积、隅、廉的位置,后二句“以廉乘商方,命实而除
之”,提示了积、隅、廉在立成释锁法中的应用。显然,利用贾宪三角,
当时人们已经把开方术从这之前只能开二次、三次方(王孝通有形如x■
+Bx■=C 的4 次方程,但通过两次开平方解决)推广到开任意高次方。贾宪
提出了贾宪三角的造法,即“增乘方求廉法”,又称“释锁求廉本源”。
求n 次方的各廉,置n…1 位,另在最下置隅算。自隅算起,自下而上增入
上位,至首位而止。再以隅算如此自下而上升增,每次低一位而止,则得
n 次方即贾宪三角第n+1 行各廉。用现代符号写出,便是

第位/1/ C 1n

1
第位2 /1/C 1 C2


n…1 n 

第位/1/C 1 2 C3

3 n…2Cn…1 n 

。。/。。。。。。。。


。。/。。。。。。。。


第n …1位/1 2 3 4 。n 
…1 

隅算/ 1 1 1 1。n 

11 Cnn 

1 23 n…1 n m

则第n +1 行为1,Cn ,Cn ,Cn ,。,Cn ,Cn (其中Cn 只是表

示其数值,并非说贾宪已有组合表示法)。求贾宪三角各廉的关键是递加,
即变乘法为加法。在我国,自唐中叶起,人们适应商业发展的需要改进筹


算技术,其中最重要的是化乘除为加减。贾宪很可能受此启发,创造了这
种增乘方求廉法。同时,这种增乘方法可以推广到开方过程中,这就是增
乘开方法。

创造增乘开方法是贾宪最重大的贡献。这是用递增方法即随乘随加方
法达到与立成释锁法运用贾宪三角各廉异曲同工的效果。现存《详解九章
算法》所录贾宪增乘开方法的内容有:少广章开平方三问后的“增乘开平
方法”及第3 问的增乘开平方图;开立方第1 问之下的“增乘方法草”,
法、草合一;纂类章载“增乘开平方法”、“增乘(开立)方法”;少广章
另设开立圆题中所提出的开立圆法、草中,在求出实之后均云“开增乘立
方除之”,以及另设开四次方问题之下提出的“递增三乘开方法草”,法、
草合一。其递增三乘开方法的程序是:(1)分6 行布算,自上而下依次是商、
实、立方、上廉、下廉、下法,被开方数置实处,下法置1,于实的个位
之下,相当于求解x4=A 的正根。将下法自右向左每隔3 位移1 步。设4 次
方根有n+1 位整数,这相当于令x=10nx1,变成求104nx41=A 的正根。(2)
上商得数10nx1,以上商乘下法,入下廉,乘下廉入上廉,乘上廉入立方,
乘立方,减实,余实为A…104nx41。(3)为求商的第2 位得数,须先求减根

方程:以上商乘下法,入下廉,乘下廉,入上廉,乘上廉,入立方,立方
为4·(10nx1)3。(4)又以上商乘下法,入下廉,乘下廉,入上廉,上廉为
6·(10nx1)2;又以上商乘下法,入下廉,下廉为4·10nx1。(5)立方向右
退1 位,上廉退2 位,下廉退3 位,下法退4 位,便得到减根方程
(10n…1x2)4+4·(10nx1)(10n…1x2)3+6·(10nx1)2(10n…1x2)2+ 
4·(10nx1)310n…1x2=A…104nx41。

(6)商得第2 位得数,对减根方程重复上述程序,直到开方结束。
以贾宪另设的开三乘方题目4 1336336为例,上述各步骤如下:

(1)布位定位(2)第一位(3)作法求第二位
商33
实1336336 526336 526336
立方27 108
上廉927
下廉36
下法11 1
(4) (5) (6)商第二位
商33 34
实526336 526336 0
立方108 108 131584
上廉54 54 5896
下廉12 12 124
下法11 1
显然,这种开方法比立成释锁法简便、整齐。只要作好第一步布位定位,
掌握退位,其余的程序对任何次方都相同,尤其是求减根方程时,不必一
下子计算若干积及乘方的和,而是随乘随加,把复杂的计算变成一位乘法
与简单的加法,并且有很强的程序性。开方次数愈高,商的位数愈多,愈


显出其优越性。递增三乘开方法的提出,说明贾宪不仅把传统的开方法推
广到开高次方,而且也已经把增乘开方法用于开高次方。中国古代数学密
切联系实际,人们善于把一个数看成线段,把两个数之积看成面积,把三
个数之积看成体积,并且赋予开平方法、开立方法以几何意义,4 次及其
以上的开方在当时实际生活中很难找到其原型,它完全是数学自身与数学
理论发展的产物,是个重大突破。后来在阿拉伯地区也产生了类似的方法,
而在西方,则是意大利的鲁菲尼与英国的霍纳先后在1804 年与1819 年创
造了同类开方法,故称为鲁菲尼…霍纳法或霍纳法,晚了近800 年。

对《九章算术》的术文进行进一步抽象,是贾宪对中国古代数学的算
法理论的又一贡献。《九章算术》勾股章的解勾股形问题的术文都是特定
问题的具体算法,不是抽象性术文。贾宪根据题目的不同类型分别抽象出
股弦较与勾求股弦法作为引葭赴岸、系索、倚木于垣、勾股锯圆材、开门
去阃诸问的普遍方法,勾股较与弦求勾股法作为户高多于广类题目的普遍
方法,股弦和与勾求股弦法作为竹高折地类题目的普遍方法,勾弦较与股
弦较求勾股法作为持竿出户类题目的普遍方法。这些方法,不再涉及题设
的对象及具体数字,只就勾、股、弦及其和差立论,非常抽象。如“勾弦
较股弦较求勾股法曰:二较相乘,倍之,开平方为弦和较。加股弦较为勾。
以弦和较加勾弦较为股”,即

(a + b) …c = 


2(c …a)(c …b), 
a = 


2(c …a)(c …b) + (c …b) , 
b = 


2(c …a)(c …b) + (c …a) 。
贾宪又将《九章算术》的勾股容方问的术文扩充为勾股旁要法。在自注中
提出了一个重要原理:“直田斜解勾股二段,其一容直,其一容方,二积
相等。”(如图2)实际上,从公共弦上任一点作两条分别平行于长方形邻
边的垂线,则两勾股形所容的两长方形必相等。这一原理在中国古代出入
相补中起着重要作用。贾宪针对勾股容圆问的术文提出了勾股求弦和较
法:“勾股相乘,倍之为实;勾股求弦,加勾、股为法,实如法而一。”
显然,这是依据刘徽所补充的圆径公式把圆径与弦和较联系起来,即

2ab 

(a + b) …c  d 

a + b + c 

贾宪对勾股章测望诸术,以及方程章方程术,盈不足章盈不足诸术,均输

章诸术,也都作了进一步抽象。




图2

此外,贾宪还对许多问题提出了与《九章算术》不同的或全新的解法。
如均输章九节竹问,《九章算术》用衰分术求解,贾宪则分别用课分法、
减分法、方程术求解。贾宪将今有术改称互换术,提出了合率术、分率术
等概念。所谓合率术是除数为几个数(整数或分数)的除法,包括少广术及
凫雁类问题,分率术则是传统的鸡兔同笼问题解法,还包括其率术、反其
率术等。对盈不足章许多算术问题,贾宪都分别用互换术,合率术、分率
术提出了新的解法。这些方法都以其数学特征命名,比《九章算术》等著
作的名称更准确,更科学。

贾宪的《黄帝九章算经细草》可以看成另一种形式的《九章算术注》,


它不再像刘徽注那样以阐释《九章算术》的数理,证明其命题的正确性为
主,将自己的新方法、新思想寓于对《九章算术》术文的分段阐释中,而
是以发展《九章算术》的方法,并作运算细草为主,所采取的形式是在《九
章算术》本文和刘徽、李淳风注之后,对其方法进行改写、抽象,甚至更
新。因此,《黄帝九章算经细草》对后来,尤其是宋元数学产生了直接的
巨大的影响。首先,它被南宋杨辉取作撰写《详解九章算法》(1261)的底
本,贾宪对各种算法的抽象、创新,对若干问题的不同解法的探索,成为
杨辉作解题、比类,特别是撰纂类,对《九章算术》按方法重新分类的基
础,也成为明吴敬、程大位著述的滥觞。其次,贾宪的增乘开方法,中经
刘益(12 世纪),到南宋秦九韶著《数书九章》(1247)提出正负开方术,发
展为求高次方程正根的十分完备的方法。对高次方程的研究,也促进了天
元术即设未知数列方程的方法的诞生。方程论是宋元数学最重要、最有成
就的课题,盖导源于贾宪。还有,贾宪三角不仅用于高次开方,而且成为
后来人们解决垛积问题即高阶等差级数求和问题的有力工具。朱世杰《算
学启蒙》(1299)、《四元玉鉴》(1303)系统解决了这类问题。他用平行于
左右两斜边的两组平行线将贾宪三角中诸数字联结起来,容易发现,某行
诸廉中任一系数恰恰等于其在上一行中两肩上系数之和,并且,第p 条斜
线上前r 个数和恰恰等于第p+1 条斜线上第r 个数,即

Σ 
1 
i(i+l)(i + 2) 。(r+p…1)= 
1 
r(r+1)(r +2)。(r +p) ,令p=1 ,

p! (p +1)! 

2,3,。就得出朱世杰的高阶等差级数求和公式。这也相当于将贾宪三角
中前一斜线前r 项之和落到下一斜线的第r 项上,这就是为什么朱世杰将
他的求和公式自p=2 起依次称为落一形垛(三角垛)、三角落一形垛(撒星形
垛)、撒星更落一形垛(三角撒星形垛)、三角撒星更落一形垛,它们实际上
就是贾宪三角的第2,3,4,5 条斜线。可见,宋元数学的大多数成就都是
在贾宪工作基础上发展起来的。贾宪是宋元数学高潮的主要奠基者和推动
者。

文献
原始文献


'1'(明)永乐大典·卷一六三四四,中华书局,1960。

'2'(宋)杨辉:详解九章算法,《宜稼堂丛书》本, 1842。

'3'(元)脱脱等:宋史·楚衍,中华书局,1977。

'4'(宋)王钦臣:王氏谈录,文渊阁《四库全书》本,台湾商务印书馆
影印,1986。

研究文献

'5'钱宝琮主编:中国数学史,科学出版社,1964。
'6'钱宝琮主编:宋元数学史论文集,科学出版社,1965。
'7'郭书春:贾宪《黄帝九章算经细草》初探,自然科学史研究,
7(1988),4,第328—334 页。
'8'郭书春:贾宪的数学成就,自然辩证法通讯,11(1989),1,第53—61 页。
苏颂


薄树人蔡景峰
苏颂字子容。泉州府同安县(今福建同安)人。宋天禧四年十一
月二十三日(1020 年12 月 10 日)生;建中靖国元年五月二十日
(1101 年6 月18 日)卒于润州(今江苏镇江)。本草学、天文学。

苏颂出身官宦世家,祖上多有军功。其六世祖苏益于唐昭宗时随威武
节度使王潮入闽,葬于同安。五世祖苏光诲建府第于同安。自祖父苏仲昌
一代起,苏家改由科举登进士入仕。苏仲昌登仁宗天圣二年(1024)进士,
曾任复州(今湖北沔阳一带)太守,后进左屯卫将军、太子少师。父苏绅博
学多智,比苏仲昌还早五年就登进士,初任宜州(今广西自治区宜山一带)
推官,后曾任史馆修撰、翰林院学士、尚书礼部郎中、龙图阁直学士等中
央和地方官职。在知河阳(今河南孟县一带)任满将赴新任时卒。苏颂扶柩
南归途中,择葬于润州丹阳(今江苏丹阳)。苏颂伯父苏■,堂叔伯苏缄、
苏结等也均为进士。苏颂哥哥苏■在苏颂之后4 年也登了进士。

苏颂于仁宗庆历二年(1042)与王安石同榜登进士,时方23 岁。初任宿
州(今安徽宿县)观察推官(宿州驻军长官的僚属),在此后长达

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