中外科学家发明家丛书:希尔伯特-第2章
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在莱比锡，相当多的人跟希尔伯特一样对不变量理论感兴趣。在这里，
希尔伯特很快成了莱比锡数学界内的一员，他结交了几位年轻的数学家——
乔治·皮克、爱德华·斯塔迪。本来克莱因特意力促斯塔迪和希尔伯特两位
到南方的埃尔兰根去访问他的朋友保尔·果尔丹——当时公认的“不变量之
王”。但由于某种原因，大概是希尔伯特不喜欢斯塔迪和他作伴，这趟远征
并未成行。
1885年12月初，希尔伯特第一篇关于不变量的文章经克莱因提交给了
科学院。
克莱因自己年轻时曾和他的朋友索弗斯·李相伴去巴黎旅行。两个人都
学得了有关群论的知识，这些知识在他们的学术生涯中已经发挥了重大作
用，所以克莱因总是试图把每个有培养前途的德国青年数学家送往巴黎。因
为赫维茨也支持克莱因的忠告，所以在1886年3月的时候，希尔伯特便踏上
了去巴黎的旅途。
在巴黎，希尔伯特不得不和那位很难相处的斯塔迪协力合作这次由克莱
因建立的数学访问。因为斯塔迪也是按照克莱因的劝告，先期到了那里。
希尔伯特一安顿下来，就给克莱因写信。这封信证明他对这位教授非常
之敬重。他首先极细心地打了一份草稿，措词适当而优美，然后用罗马手写
体大字精心书写了一遍，而那时候他给赫维茨写信仍旧用的是歌德体，他遵
照克莱因的教诲，和斯塔迪一起先后拜访了庞加莱、约当、埃尔米特等数学
家。
埃尔米特知道他的年轻客人最关心不变量的课题，他就把他们的注意力
引导到这个理论中最著名的，但仍悬而未决的问题上——“果丹尔问题”。
这使得埃尔米特成了这些法国科学家中对希尔伯特最有吸引力的一位。
希尔伯特在巴黎一心扑在数学上，从不作观光旅行。他在走访和听课之
余，用漂亮的书法编辑并抄写了他为取得讲师资格而写的论文，这件工作进
展很顺利。6月底，在回哥尼斯堡的路上，希尔伯特特地到了哥廷根，向正
在那里任教的克莱因汇报了在巴黎的情况。
1887年 7月，希尔伯特在哥尼斯堡顺利通过了获得讲师资格的学术考
试。他对自己决定留在较偏僻的哥尼斯堡任教感到满意和欣慰，因为他可以
在这里与赫维茨每天去“散步”。
人的一生中，20岁到30岁是最富于科学创造力的黄金时期，对希尔伯
特来说，人生差不多已经过了一半。
四、果尔丹问题
希尔伯特果断地决定，作为一名讲师，他所选择的课目除了教育学生，
也要教育自己。跟许多讲师不同，他还决定不教重复的课，同时，在每天去
苹果林散步的那段时间，他和赫维茨为他们自己确立了一个目标：“系统地
勘查”数学。
第一学期，只有选听他的不变量理论课的学生的数目达到了学校规定的
开课标准。第二学期，他讲授了第一学期想开设而没能开的课：行列式论和
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流体动力学。
1888年3月，他感到万事俱备，可以进行他期待已久的旅行了。他选好
了旅行路线，使他能顺路访问21位杰出的数学家，其中有果尔丹、克莱因、
许瓦尔茨、富克斯、赫尔姆霍斯、克隆尼克等。当然，他首先要去拜会的是
埃尔兰根的“不变量之王”——果尔丹。
一段时期以来，希尔伯特已经熟悉了果尔丹问题；现在，他终于听到了
果尔丹本人的讲述。他似乎体验到了一种过去从未有过的新境界。这个问题
唤起了他那几乎无法思议的完美想象力。
正如希尔伯特本人后来所列举的那样，一个重大的富有成效的数学问题
应具备下述的每一个特点：
清晰性和易懂性 （“因为清楚、易于理解的问题能吸引人的兴趣。而复
杂的问题使人望而却步”）；
困难的（“这才能引诱我们去搞它”）而又不是完全无从下手解决的（“免
得我们劳而无功”）；
意义重大 （“在通向那隐藏着的真理的曲折路径上，它是一盏指路明
灯”）。
果尔丹问题使他像着魔一般怎么也放不下手。在旅行访问结束之后，希
尔伯特回到了哥尼斯堡，但他的思想却终日沉浸在这一问题中，甚至在他喜
爱的舞会上也没有停止思考它。
9月6日，希尔伯特给哥廷根科学会的《通讯》寄去了一份短短的注记。
在这篇注记中，他完全出人意料地开辟出一条全新的路径，表明如何用统一
的方法对任意个变数的代数形式建立起果尔丹定理。这个轰动世间的关于不
变量系有限基存在性的证明，其基础是一条引理，即关于“模”的有限基的
存在性。“模”是希尔伯特在研究克隆尼克的工作时得到的一个数学概念。
这条引理如此简单，看起来极其平凡。而果尔丹的一般性定理又可以从它直
接导出。这件工作是体现希尔伯特思想之精神实质的第一个例子。
即使完成了1890年的那些工作，果尔丹问题仍萦绕在他的心中。作为一
名数学家，比起存在性证明来他还是更喜欢有一个实际的构造。在其后的两
年间，他的工作开始发生了变化。代数构成的思想浇灌了他的心田。突然，
在1892年，希尔伯特用他的结果结束了一直被人们讨论不休的不变量理论，
整个理论的呼吸随之停止了。
随着希尔伯特超凡脱俗地拨开了果尔丹问题的迷雾，他开始认识了自
己，也找到了他的研究方法——钻研单个的重要问题，这个问题的解决，其
意义将远远超出问题本身。可是，正当大家期望希尔伯特能来重整果尔丹这
个学术领域，从而使它摆脱一筹莫展的局面时，却出现了人们无论如何意想
不到的情况：希尔伯特不愿再为承担上述工作而花费时日了。最初引起他兴
趣的问题被解决了，就意味着他自由了。他将坚决地离开它，迎着更深奥的
课程前进。
五、转变
紧接着的3年间，希尔伯特在学术界的地位上升了，他做了大多数年轻
人在这种年纪要做的一切事情：结婚、生孩子、接受重要的任命，他还做了
一项决定，这项决定改变了他的生活进程。
在德国各大学中争夺学术职衔的竞争中，当了8年副教授的赫维茨接受
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了苏黎世瑞士联邦技术学院正教授提名。虽然这意味着那日复一日的数学散
步即将结束，但赫维茨的位置却为希尔伯特打开了希望之门。
1892年8月，教授会一致决议：由希尔伯特接任赫维茨副教授的职位。
希尔伯特那经济拮据的讲师生活终于到了头。他欣喜地将此晋升的消息写信
告知闵可夫斯基，同时宣布了他举行婚礼的日子。
10月12日，希尔伯特与比自己小两岁的喀娣·耶罗士举行婚礼。实际
上希尔伯特和耶罗士家族有着亲戚关系。喀娣为人正直、坚强、贤惠，既体
贴人又直率，还总有独创的见解，是希尔伯特理想的伴侣。
随着职务和生活中私事的变迁，希尔伯特开始表现出一种新的数学兴
趣，“从现在起，我要献身于数论”这是他在完成了最后一篇关于不变量的
文章后曾经告诉过闵可夫斯基的。现在，他真的转向了这个新课题。
众所周知，是高斯把数的理论置于科学之巅。他把它描绘成“一座仓库，
贮藏着用之不尽的能引起人们兴趣的真理。”希尔伯特则把它看作“一幢出
奇的美丽又和谐的大厦。”像高斯一样，希尔伯特被数论迷住了。但尽管他
们对数论的评论相似，他们所谈论的却是数论的两种不同的版本。
高斯称赞经典的数论，它溯源于希腊，讨论存在于自然数之间的关系。
其中最重要的是素数间的关系。到了高斯时代，数的概念已经远远超出了自
然数的范围。高斯本人是把数论的概念从有理“域”拓展出去的第一位数学
家，他认为在有理“域”中，两个数的和、差、积、还有商（这一点，跟自
然数的情形不一样）仍然属于有理数域。希尔伯特所称道的正是高斯开创的
数论的新发展。
现在，他使用跟他打通攻克果尔丹问题之路差不多的办法，开始了在代
数数域方面的工作，他返过头来思考基本概念，直到得出解决办法。他的第
一篇关于新课题的论文，给出了域内整数分解成素理想数的唯一分解定理的
另一个证明。
希尔伯特一直很难安心于他的新境遇：作一个有薪水。有妻子的副教授。
因为这里又有了让人欣喜的消息：林德曼已经接受了慕尼黑大学的邀请，将
要离开哥尼斯堡。不久，年仅31岁的希尔伯特接任了林德曼的教授职衔，这
也为闵可夫斯基由波恩返回哥尼斯堡接任希尔伯特的副教授之职带来了良
机。但是直到1894年春天，闵可夫斯基才在希尔伯特的帮助下摆脱了波恩方
面的阻挠，回到了哥尼斯堡。每天在苹果园中散步以及关于数论的讨论终于
又重新愉快地开始了。
希尔伯特的新家万事如意，井井有条。1893年8月11日，他的第一个
孩子在海滨胜地克拉兹出世了，他给儿子起名叫弗朗士。
此后几星期，希尔伯特到慕尼黑参加了德国数学会年会。这个学会是最
近才由包括希尔伯特在内的一群数学家筹建起来的，其目的是为了使不同的
数学分支之间有更多的交流。会上，希尔伯特提出了关于将一个域中的数分
解成素理想数的两个新证明。虽然他刚刚开始发展代数数论方面的工作，但
他的能力显然深深打动了其他成员。学会有一项计划，要按年发表不同数学
领域的综述性文章。现在，经大家公认请希尔伯特和闵可夫斯基在两年内准
备一篇数论发展现状报告。这样紧急地指定这项任务，是因为库莫尔、克隆
尼克和戴德金的革命性工作极其复杂，以至当时大多数数学家依旧无法理解
它。现在人们期待希尔伯特和闵可夫斯基来改变这种状况，这种期待不仅是
对他们的数学能力的称颂，也是对他们具有简明和清晰的数学表达力的赞
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赏。
随着闵可夫斯基在1894年返回哥尼斯堡，希尔伯特感到心满意足，因为
再不能有更好的合作者来一起写这份年度报告了。现在，年度报告在希尔伯
特心中开始成形。对一个年轻数学家来讲，干数学会分派的任务，也许是一
件不受欢迎的零活，但希尔伯特并不这样认为，他已经用自己的工作表明，
他对把互反律推广到代数数域特别感兴趣。目前，他自愿把这些计划搁置一
边，而要在写这份指定的报告时看准机会为更深入的研究打下必不可少的基
础。虽然他俩不喜欢靠书本来做学问，但他却阅读了自高斯时代以来所有发
表的有关数论的著作。对一切已知定理的证明，都要仔细地揣摩以估量优劣。
然后，他必须去判定哪些证明中的“原理能够加以推广，对进一步的研究最
为有用”。可在能够作出选择之前，进一步的研究必须先开展起来。那些一
直阻碍着人们去全面评价和领悟他的前辈工作的那些思想作风方面的困难，
必须予以清除。决定已经做出，这份报告应该分成两个部分：闵可夫斯基讨
论有理数论；希尔伯特讨论代数数论。在1894年期间，希尔伯特为他所承担
的那部分报告奠定了基础。
可是没过多久，这两位肝胆相照的挚友又得惜别。12月初，希尔伯特接
到世所公认德国数学界的领袖——克莱因来自哥廷根的信，信中说：“我将
尽力让你取得这里的任命。”“为了我的科学团体，我需要你这样的人。因
为你的研究方向，你丰富而强有力的教学思想，以及你处在富于创造活动的
年龄。”“你还能产生出使我返老还童的影响。”“但是，有件事你今天就
得答应我：倘若你接到任命，你将不会拒绝。”
没有记录说明希尔伯特曾考虑过拒绝，事实上，他欣喜若狂地给克莱因
回信说：“我的一切努力所追求的最终目的，本希望只能在遥远的未来才能
实现的夙愿，已经有了实现的可能。”“你，范围更大的影响力的环境，以
及你们这所大学的光荣，都将提供一种科学上的刺激力，这对我来说最有决
定意义的。”
六、哥廷根的教授
哥廷根，是座寂静秀丽的小城市，古老的城墙至今还围绕着哥廷根的内
城。哥廷根大学的科学传统为卡尔·弗里德里希·高斯所首创。高斯于1795
年进入哥廷根大学，在他21岁离开大学之前，就已经完成了那篇数论杰作《算
术研究》。当他年事已高时，他在数学与应用数学方面赢得了与阿基米德和
牛顿相当的荣誉。
希尔伯特1895年3月来到哥廷根时，差不多刚好是高斯到达这里之后的
整整100年。当时，这里有两位著名的数学家——克莱因和海因里奇·韦伯。
克莱因的声望吸引着世界各国的学生。他的讲演被奉为经典。因为他每
次在开始讲课之前都已经为所有公式、图表和引文作好了周密的安排。讲演
过程中写上黑板的东西从来不必擦掉。最后，整个黑板就包含了对讲演的内
容的一个绝妙概括，每一个小方块都写得恰到好处井然有序。与之相比，希
尔伯特的讲演就远不如其尽善尽美，而是不修边幅，难免错漏，有时还表现
出那种忽然有所发现的不适当的冲动，但是希尔伯特惯于回顾他上一次课讲
过的内容，这种类似于大学预科学校的讲课技巧是被当时其他教授瞧不起
的，但是因为他的讲演充满了精采的观点，不久似乎就给许多学生造成了更
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深刻的印象。
在希尔伯特讲授行列式和椭圆函数的时候，闵可夫斯基在哥尼斯堡接受
了作为他朋友的继承人的职位，希尔伯特在哥廷根认真地准备着1893年德国
数学会要求他和闵可夫斯基在两年内合作完成的年度报告，1896年初，希尔
伯特的那部分报告接近完成，手稿全部由喀娣·希尔伯特用清楚圆润的笔迹
誊好付印。校样一出来就被邮往哥尼斯堡请闵可夫斯基过目。闵可夫斯基和
赫维茨将全部校样极为仔细地审读后，将校正和建议接连地寄往哥廷根，这
使得希尔伯特有点不耐烦了。闵可夫斯基便写信安慰他：“细致有好处。”
“报告很快就完成，并将获得高度评价，请您想想这点，并以此告慰自己吧！”
报告定稿后，希尔伯特为 《报告》写了引言，充分地表达了自己撰写这
篇杰作的思想方法。他还在引言中强调了大数学家们对数论所�
