2451-道教科学思想发凡-第16章
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到了隋唐时期，历经千余年的发展，中国古代数学日趋完备，形成了以十部古典数学著作为中心内容的体系。这十部算经为《九章算术》、《周髀算经》、《海岛算经》、《五曹算经》、《孙子算经》、《夏候阳算经》、《张丘建算经》、《缀术》、《辑古算经》，俗称算经十书。现今传本的算经十书每卷首页上都题有“唐朝议大夫、行太史令、上轻车都尉臣李淳风等奉敕注释”字样。
李淳风所注算经十书有不少思想创获。
其一，运用实际观测结果验证、校正传统算学理论的思想。例如，李淳风在对《周髀算经》作注时，结合实际观测结果，指出经文认为南北相去一千里，日中测量八尺高杆竿的影子相差一寸不符合实际；赵爽所注释的二十四气八高标竿的日中影子长，用等差级数计算也与实际不符；李淳风还对甄鸾注释中对赵爽“句股圆方图”的种种误解，逐条予以校正。这种结合实际观测进行校书的方法是十分先进的科学思想。
其二，重视算术教育的思想。李淳风所注算经十书对中国古代数学教育发展起到很大推动作用。李淳风注释有一特色，就是对算经十书中一些内容深奥难懂的经文予以详细演算释解。例如《海岛算经》原本是刘徽附于《九章算术》之后的“重差”一卷，原著解题方法略而不详。李淳风在注释时就详细列出演算步骤，极大地便利了初习算术者。故李注算经十书完成后，高祖下诏做为教科书在“国学行用”。
此外，李注算经十书还保存了许多珍贵古算史料，为研究古代算学思想的流变提供了资料。例如在《九章算术》少广章开立圆术注释中，李淳风引述祖NFDBC之说，介绍了球体公式的理论基础，使得祖冲之父子对球体研究的详情得以流传至今。
道门中人与传统数学思想发展的关联还有不少，例如元代高道赵友钦所著《革象新书》卷 《乾象周髀》中，就论述了平面割圆术参见李俨《中国数学大纲》上册，科学出版社，1958，第283～285页。，其中的数学思想就值得重视。散见在历代道教典籍和古代科学著作中的道教数学思想远不止上述这些，需要我们细心地加以发掘整理。下面我们以《数术记遗》为案例，深入分析其中的道教科学思想。
第三部分：以术演道——道教术数与传统数学思想《数术记遗》新论（1）
《数术记遗》是我国古代一部重要的珠算学著作，关于这部著作的作者，向来就有不少的争议。《数术记遗》卷一，卷首题“（汉）徐岳撰，（北周）汉中郡守、前司隶，臣甄鸾注”。编撰者徐岳，字公河，东莱人。阮元《畴人传》卷四为其立传。今人华印椿编著的《中国珠算史稿》一书以“《数术记遗》是否是徐岳撰著的争论”为题，列举了《四库全书总目提要》、周中浮及钱宝琮先生、余介石教授、李约瑟博士等人见解，对学界的争论做了一个疏理，为了便于读者对这一问题的了解，现择要引述如下：
《四库全书总目提要》否定《数术记遗》为徐岳所作，理由是：《隋书·经籍志》具列徐岳及甄鸾所撰《九章算术》、《七曜历算》等书，而独无此书之名。至《新唐书·艺文志》始著于录。因此四库馆臣认为，唐代选举之制，明算科学习《九章算法》和《五曹算经》之外，兼习此书。必当时购求古算，好事者因托为之，而嫁名于徐岳。
周中浮在其著《郑堂读书记》中也赞同四库馆臣的意见，理由是《数术记遗》书中有“未识刹那之赊促，安知麻姑之桑田，不辨积微之为量，讵晓百亿于大千”等数语，是佛典语句，麻姑的故事出于晋代葛洪的《神仙传》，这不可能为汉未魏初人徐岳所知。
钱宝琮先生主编的《中国数学史》认为，《数术记遗》是甄鸾的依托伪造而自己注解的书。因为“书中称刘洪为‘刘会稽’，又引天目山隐者的话，用‘刹那’‘大千’等佛经词汇和后汉末年的历史事实不合。本书决不是徐岳的原著。”钱宝琮主编《中国数学史》，科学出版社，1981，第92～93页。
余介石先生则认为，四库馆臣已疑《数术记遗》为伪书，那么甄鸾的注文也值得怀疑。
李约瑟博士也发表了看法，认为“《数术记遗》是本章所提到的著作中较接近于道教与占卜术的著作，而在甄鸾的注释中又有佛经的引文，这些事实使许多学者把全部原文看成是后来的伪作，并认为大概是注释者本人所写的。”李约瑟：《中国科学技术史》第3卷，科学出版社，1978，第64页。
有些珠算史研究者对《数术记遗》中叙述的三等数之说，表示怀疑，认为根据我国记数法的历史推断，徐岳不可能提出三等数之说。
也有些珠算研究者不同意《数术记遗》是伪托著作之说，而肯定是汉代徐岳的著作，他们的主要论点如下参见华印椿编著《中国珠算史稿》中国财政经济出版社，1987，第22页。：
（1）麻姑的故事虽出于晋代葛洪的《神仙传》，但传中叙述的故事发生于汉桓帝时，是在徐岳撰述《数术记遗》之前。
（2）“大千”、“刹那”等佛典词汇，东汉迦叶摩腾和竺法兰同译的《四十二章经》中已有“大千世界如一河子”之语。“刹那”意译成“须臾”，以后所附注疏中就有“刹那”译名。
（3）《隋书·经籍志》未列《数术记遗》书名，是由于《隋书·经籍志》编次无方，述经学源流，每多舛误之故。
（4）刘洪是颇有造诣的数学家、天文学家，他的乾象术最大数目用到67亿以上，他应当通晓万万进的记数法。所以，徐岳可能提出三等数。
第三部分：以术演道——道教术数与传统数学思想《数术记遗》新论（2）
华印椿先生本人对《数术记遗》的体裁、内容和近人肯定这本书是徐岳所作的论点，也持怀疑态度。但他对《数术记遗》是否是徐岳撰著还无法得出一个明确的结论：“总之，《数术记遗》的作者问题，直到现在，否定与肯定两种意见，还争论不决，所以不能作最后断定。”华印椿编著《中国珠算史稿》，中国财政经济出版社，1987，第23页。
上述有关《数术记遗》是否为徐岳所作的纷争，肯定与否定的意见都有各自的依据，笔者不拟作更多的评述。笔者以为，不管《数术记遗》作者是否为徐岳，就《数术记遗》的来历和思想内容来分析，《数术记遗》的道教色彩相当浓厚，当出自道门术士之手。
《数术记遗》开卷就交待了此书的来历：余以天门金虎，呼吸精泉，羽檄星弛，郊多走马，遂负帙游山，跖迹志道，备历丘岳，林壑必过。乃于太山，见刘会稽博识多闻，偏于数术。余因受业，颇染所由。余时问曰：“数有穷乎？”会稽曰：“吾游天目山中，见有隐者，世莫知其名，号曰天目先生。余亦以此意问之。先生曰，世人言三不能比两，乃云捐梦与四维。数不识三，妄谈知十。犹川人士迷其指归，乃恨司方之手爽。未知刹那之赊促，安知麻姑之桑田。不辨积微之为量，讵晓百亿于大千。《数术记遗》，钱宝琮点校《算经十书》，中华书局，1963，第535～538页。
从书中刘会稽刘洪，号会稽，汉代天文学家，撰有乾象历。提到的天目山隐者天目先生来分析，《数术记遗》的思想内容来自天目先生的传授。天门金虎，呼吸精泉，羽檄星弛乃道教炼养的常用术语，可见编撰者是一个奉道人士；《数术记遗》原属道教术数文献，这还可以从《数术记遗》原书典出南宋道藏得到有力旁证。
《数术记遗》现存最早的刻本乃南宋汀州鲍擀之所刻。鲍擀之于南宋嘉定五年（公元1212）撰文详细说明其从道观中发现此书的经过：自五季纷乱之后，筹学之书类多散逸，所是缀术三等数已亡失而不传。国家文治煨兴，经籍道备，徐岳《数术记遗》犹在《崇文总目》之数。及至中兴馆阁，收拾遗书，乃不复见。民间藏书之家亦无其本，则是筹学所缺者三书矣。余官中都丐外得请暇日，因至七宝山三茅宁寿观阅道藏中书目，乃见有《数术记遗》者，亟恳道士启其函而快读之。其书篇首言“余以天门金虎，呼吸精泉”谅此二语类道家之说，遂以见收，不然则无传矣。即就录之，以补筹经之阙。《数术记遗》鲍擀之后记，任继愈主编《中国科学技术典籍通汇》数学卷一，河南教育出版社，1993，第351页。
鲍擀之至七宝山三茅宁寿观阅道藏中书目，发现有一部未曾见过的筹算著作《数术记遗》书名，于是“亟恳道士启其函而快读之。”并“即就录之，以补筹经之阙。”从《数术记遗》曾入宋代《道藏》这一情况来看，《数术记遗》一书的道教归属不言而喻，《数术记遗》无疑是一部道教术数著作。
此外，从《数术记遗》的思想内容来分析，《数术记遗》列举了十四种不同的记数法，“其一积算，其一太乙，其一两仪，其一三才，其一五行，其一八卦，其一九宫，其一运筹，其一了知，其一成数，其一把头，其一龟算，其一珠算，其一计数。”《数术记遗》，钱宝琮点校《算经十书》，中华书局，1963，第541～542页。其中，“太一（乙）算，太一之行，去来九道。两仪算，天气下通，地禀四时。三才算，天地和同，随物变通。五行算，以生兼生，生变无穷。八卦算。针刺八方，位阙从天。九宫算，五行参数，犹如循环。”《数术记遗》，钱宝琮点校《算经十书》，中华书局，1963，第542～544页。从这些算法的名目如太乙、两仪、三才、五行、八卦、九宫来看，显然有道教术数的烙印。其中，“九宫算，五行参数，犹如循环。注云：九宫者，即二、四为肩，六、八为足，左三、右七，戴九、履一，五居中央。五行参数者，设位之法依五行，已注于上是也。”《数术记遗》，钱宝琮点校《算经十书》，中华书局，1963，第544页。下面我们就《数术记遗》中的数学思想展开分析，以期从这一个案中加深对道教术数的数学思想特色的认识。
第三部分：以术演道——道教术数与传统数学思想《数术记遗》中的算学思想特色（1）
中国传统数学向来以计算见长，算学十分发达，极富特色。《数术记遗》的算学特色主要体系在珠算思想方面。
《数术记遗》是现存最早著录“珠算”器的文献，其以珠为运算工具的思想开启了中国传统珠算的先河。《数术记遗》所记十四种算法中，有四种是以珠计算的，具体为：
太一算，太一之行，去来九道。注云：刻板横为九道，竖以为柱，柱上一珠，数从下始。故曰去来九道也。《数术记遗》，钱宝琮点校《算经十书》，中华书局，1963，第542页。
两仪算，天气下通，地禀四时。注云：刻板横为五道，竖以为位。一位两珠，上珠色青，下珠色珠，下珠色黄。其青珠自上而下，至上第一刻主五，第二刻主六，第三刻主七，第四刻主八，第五刻主九。其黄珠自下而上，至下第一刻主一，第二刻主二，第三刻主三，第四刻四，而已。故曰天气下通，地禀四时也。《数术记遗》，钱宝琮点校《算经十书》，中华书局，1963，第542页。
三才算，天地和同，随物变通。注云：刻板横为三道，上刻为天，中刻为地，下刻为人，竖为算位。有三珠，青珠属天，黄珠属地，白珠属人。又其三珠通行三道。若天珠在天为九，在地主六，在人主三。其地珠在天为八，在地主五，在人主二。人珠在天主七，在地主四，在人主一。故曰天地和同，随物变通。亦况三元，上元甲子一、七、四，中元甲子二、八、五，下元甲子三、八、九，随物变通也。《数术记遗》，钱宝琮点校《算经十书》，中华书局，1963，第542页。
珠算，控带四时，经纬三才。刻板为三分，其上下二分以停游珠，中间一分以定算位。位各五珠，上一珠与下四珠色别。其上别色之珠当五。其下四珠，珠各当一。至下四珠所领，故云控带四时。其珠游于三方之中，故云经纬三才也。《数术记遗》，钱宝琮点校《算经十书》，中华书局，1963，第546页。
第三部分：以术演道——道教术数与传统数学思想《数术记遗》中的算学思想特色（2）
算筹是中国传统的运算工具，有其运算方面的优势和特点。但筹算在做多位数加减法和乘除法时占地位多，布数慢，不利于快速计算，难以适应社会生产和商业活动的需要。因此，随着古代算术的发展，在传统筹算的基础上，出现了算盘，这种新的计算工具是以珠算代替传统的算筹。古算书《数术记遗》是最早著录“珠算”器的文献，这种‘珠算’器是现代算盘的前身，两者的建构基本类似。可惜原文和注解过简，关于书中的算盘是否有柱贯珠这一问题，学术界尚有分歧。参见华印椿编著《中国珠算史稿》，中国财政经济出版社，1987，第24～25页。
《数术记遗》所记古算十四法；早在19世纪30年代就引起日本学者三上义夫先生的兴趣，其著《中国数学的特色》〔日〕三上义夫：《中国数学的特色》，《万有文库》第一集中译本，商务印书馆，1929。用相当的篇幅论述了《数术记遗》中的种种算法和算器。继此之后，陆续有一些学者对《数术记遗》展开了研究。关于《数术记遗》所蕴涵的现代意义的科学思想，也有一些学者做了分析。例如，关于两仪算和三才算，李约瑟的《中国科学技术史》指出：“它使用两种不同颜色的珠，黄珠在y轴的左边，青珠在y轴的右边，立数的方法与‘太一’算相同。这种方法与近代的曲线图形表示法有惊人的类似之处，因为在近代的曲线图形表示中，不同类型的点与轴上的不同标度相联系。还有一种方法使用三种不同颜色的珠，只有三个水平位置，用这种方法同样可以建立任何一个需要的数。这就是‘三才’算法。总之，这些系统即使晚至公元六世纪才出现，它们仍表明当时人们对座标关系已有一定的认识。”李约瑟： 《中国科学技术史》第3卷《数学》，
科学出版社，1978，第169～170页。李约瑟最为推崇的是太一算，曾给予很高的评价：
正文提及某物“去来九道“（或许是槽？）。注释说“刻板横为九道，竖以为柱，柱上一珠”（这种算法的名称就是由此产生的）；因此，把这些珠上下移动，就可以定出需要保留的任何一个数。这个方法清楚地表明，在珠算系统中隐藏着座标几何学的方法，以10的幂次标定x轴，而以小于10的各数标定y轴。如果当时人们（即使是在思想上）能够相信这些珠沿着连续曲线移动，那么，用座标图示法的笛卡尔学派早就应该出现了。李约瑟：《中国科学技术史》第3卷《数学》，科学出版社，1978，第169页。
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