数学新干线-第2章
按键盘上方向键 ← 或 → 可快速上下翻页，按键盘上的 Enter 键可回到本书目录页，按键盘上方向键 ↑ 可回到本页顶部！
————未阅读完？加入书签已便下次继续阅读！
这是多么宏大的数字啊。
712×2=27682574402只
也就是说一共有（276亿8257万4402只）
1月末 （1＋1×6）对×2只=71×2只
2月末 （7＋7×6）对×2只 = 7×（1＋6）×2=72×2只
12月末 712×2只
2、1＋2＝3、 4＋5＋6＝7＋8 5分
问题
1＋2＝3
4＋5＋6＝7＋8
9＋10＋11＋12=13＋14＋15
上面的算式还真的很有意思啊。那么让我们想想后面的算式如何排列呢？
提示
注意左边最初的同类项及左、右两边同类项的数值。
解题 1＋2＝3、 4＋5＋6＝7＋8
注意到左边最初的同类项是n2这一点很重要。由于左边的同类项数是n＋1、
右边的同类项数是n，所以
n2 ＋ （n2＋1） ＋ … ＋（n2＋n）
=（n2＋n＋1） = （n2＋n＋2）＋ … ＋（n2＋n＋n）
接下来的算式是n=4和5时
16＋17＋18＋19＋20=21＋22＋23＋24
25＋26＋27＋28＋29＋30=31＋32＋33＋34＋35
答案
16＋17＋18＋19＋20=21＋22＋23＋24
25＋26＋27＋28＋29＋30=31＋32＋33＋34＋35
3、 32 ＋ 42 = 52 15分
问题
102 ＋ 112 ＋ 122是两个相连的整数平方的和，请求出其整数。
102 ＋ 112 ＋ 122 = □2 ＋ ○2
提示
把连着的整数设为未知数，关键是怎样设置。
解 32 ＋ 42 = 52
把相连的小的整数设为11＋n（但是n≥1）。
根据题意
（算式省略）
把上列算式整理为
（算式省略）
所以（算式省略）
解上列算式为
（n…2）（n＋25）=0
由于（算式省略）、所以 n=2
因此，所求的整数是 11＋n=13和11＋n＋1=14
所以 （算式省略）
答案
（算式省略）
小知识
有趣的数字
（算式省略）
4、十字之和 30分
问题
请把从1到9的数字填写到下图的十字架中，使横、竖的数字之和相同。每个数字只能用
一次。
（图略）
提示
横、竖的数字之和是多少，十字架中间的数字最关键。
接下来需要反复把数字填进去试，找到整数的对称性就简单了。
答案不只1个。
解题 十字之和
我们设横、竖的数字之和为S，十字架中间的数字为X（横、竖计算时都加算X）
（算式省略）
由于S是整数，所以45＋X需要用2去除。也就是说X是奇数。（45＋奇数=偶数）。
X=1时S=23、X=3时S=24、X=5时S=25、X=7时S=26、X=9时S=27。余下的数字自己试着填上就可以了。
答案
（图略）
第二部分第1节
5、三角形各边之和 30分
问题
请把从1到9的数字填进下图的三角形里，使每边数字的和都等于23。但是每个数字只能
使用一次。
提示
和前一道题的十字架中间的数字被重复计算一样，这道题是三角形顶角的数字被重复
计算，
答案不只1个。
解 三角形各边之和
我们设三角形各边数字之和为S，各顶角的数字依次为X，Y，Z（顶角的数字X，Y，Z被两个边重复使用。）
（算式省略）
因为 S=23，那么根据上列算式得出 X＋Y＋Z=24。所以可以确定 X=7、Y=8、Z=9。
8和9之间的另外两个数字的和应该是6，得6的数字是4和2、5和1这两种组合。
答案
（图略）
6、巧填奇数 20分
问题
把从1到9的数字（每个数字只能使用一次）填进3×3的方形矩阵内，使横、竖、斜线数字
之和都相等，这是很普通的矩阵数字游戏。那么，请把从1到17的奇数（每个数字只能使用一次）填进下图的3×3方形矩阵内。
提示
填在中间的格子里的数字是关键
解题 巧填奇数
把横、竖、斜线数字之和设为S，每个格子里的数字如图所示
A B C
D E F
G H I
3S=（A＋B＋C）＋（D＋E＋F）＋（G＋H＋I）=81
所以 S=27
把中间的格子里的E算在内，其和为
A＋E＋I=27 B＋E＋H=27 C＋E＋H=27 D＋E＋F=27
因此 A＋B＋C＋D＋E＋F＋G＋H＋I＋3E=27x4
81＋3E=108
所以 E=9
然后再按照（算式省略）算式把数字试着填进格子里，定下来17、15、13的位置。
答案
15 5 7
1 9 17
11 13 3
如右图（图略），偶数的方形矩阵也很简单。此例题例举了0到16的偶数（0也是偶数）
14 0 10
4 8 12
6 16 2
7、难画也要画 15分
问题
请使用圆规和格尺把√2、√3、√4、√5标在一条直线上。
（图略）
提示
留意正方形的对角线。
解题 难画也要画
边长为1的正方形的对角线长度，根据勾股定理，应该等于√2。
即算式为 （12 ＋ 12 = √22）
那么，长是1、宽是√2的长方形的对角线的长度、根据勾股定理应该等于√2。算式为
（算式省略）
那么，√5的长度也可以用同样的方法算出来。
答：
（图略）
小知识
如果不是在一条直线上，像下图那样用格尺也可以做成无理数。
（图略）
3、方程式的篇章
“方程式”的功能
在希腊的几何学中心，第欧范德斯）（246？330？）在研究方程式
上面为后人留下宝贵的财富。人们为了歌颂他的丰功伟绩，在他的
墓碑上竟然刻着最古老的方程式的问题。
第欧范德斯生涯的6分之1在少年、12分之1在青年、又经过7分
之1后结了婚。结婚5年后有一个孩子，但是这个孩子在父亲去世的
4年前也就是父亲生涯的一半时去世了。
设第欧范德斯在X岁时去世
算式为： （算式省略）
X=84岁。 这个问题决不是什么难题吧。
在本章里所列出的方程式和这个问题同样，都是中学1、2年级的水平，决没有使用高难度的定理。可以说是算数的延伸。
然而，掌握思考的能力是非常有用的，逻辑性的思考是方程式的生命。
1、墨斗鱼、章鱼和海星各有几只？ 15分
问题
有墨斗鱼、章鱼和海星共12只，总共有87只脚。
那么请问， 墨斗鱼、章鱼和海星各有几只呢？
提示
墨斗鱼的脚是10只、章鱼的脚是8只、海星的脚是5只。
解题 墨斗鱼、章鱼和海星各有几只？
把墨斗鱼、章鱼和海星分别设为X只、Y只、Z只。
头 数： X＋Y＋Z=12。。。。。。①
脚合计： 10X＋8Y＋5Z=87。。。。。。②
所以： y = （27…5x）/3
由于Y是整数。所以必须用3除去 27…5x。因此，x=3
所以 Y=4、Z=5
答案
墨斗鱼3只、章鱼4只、海星5只。
小知识角
刚才我们计算过的＇计算墨斗鱼、章鱼和海星＇，是有名的鹤龟计算的应用。鹤龟计算的元祖是记载在3世纪中国的数学书＇孙子算经＇里面的。那时并不是鹤和龟，而是野鸡和兔子。
日本初次提到这类问题是在17世纪的＇因归算歌＇里，仍然是野鸡和兔子。
内容是＇野鸡和兔子共有32只，数一数脚有94只。野鸡和兔子各有多少只？＇
虽然用方程式很简单就能解题，但是在这里让我们用传统的假设方法做一做试试。
假设全部是野鸡的话，应该有64（32×2）只脚。由于实际有94只脚，比64只多出30只脚。
如果把这30只脚考虑成是兔子的前脚，那么兔子就有15（30÷2）只。
所以剩下的17只是野鸡。
从此以后，在日本有青蛙、犬、鸟等各种各样的动物陆续登场，最后好像一直到19世纪
前期（江户末期）定为鹤和龟了。
（图略）
（提高能力）
2次方程式的题解和公式
相加是13、相乘是36的两个数字是什么数？咋一看好像很难似的，其实很简单。用＇急转弯＇，首先我们考虑一下2次方程式ax2 ＋ bx ＋ c（a≠0）的解的公式。
把C移到右边、再用a除以两边。
（算式省略）
由于想做成平方的形式，要在两边加上（算式省略）。
（算式省略）
把左边变为平方的形式、就是
（算式省略）
根据这个算式，2次方程式ax2 ＋ bx ＋ c的2个解是、相加是（算式省略）、相乘是（算式省
略）。
也就是说开头的问题，相加是13、相乘是36的两个数字只要把2次方程式ax2 ＋ bx ＋ c解
开就行。从上列公式我们算出
X=4、9
本来这道题在使用解题公式前如果用因式分解来解题是最简单的。
x2 －13x ＋ 36 = （x－4）（x－9） = 0
2、配错了的浓度是多少？ 15分
问题
把20％的糖水和30％糖水混在一起，想配成24％的糖水，可是一不小心把比例弄反了。
请问配错了的糖水的浓度是多少？
（图略）
提示
本来打算配制的比例是多少？
解题 配错了的浓度是多少？
（图略）
本来打算配制的比例是
20％的糖水的量：30％糖水大量
=（24…20）：（30…24）
=2：3
把配错了的糖水设为x％
本来应该按2：3配制，结果配制成了3：2。所以
（x…20）：（30…x）=3：2
因此 x=26
答案 26％
3、球的大小 15分
问题
想把两个同样大的排球装在圆柱形的箱子里，装进去一看，像下图那样正好装满。圆柱
的底边直径为32cm，高为36cm
那么球的半径是多少cm呢？
（图略）
提示
画一个通过两个球的圆心和圆柱的中心线的平行断面图看看。
解题 球的大小
像下图这样画出通过两个球的圆心和圆柱的中心线的平行断面图。
（图略）
设球的半径为r（cm）
AB=2r
AC=36…2r
BC=32…2r
根据勾股的定理
（算式省略）
因此
（算式省略）
整理上式为
（算式省略）
由于 r小于32（圆柱的底边），所以
r=10（cm）
答案 球的半径为10cm
4、最大的积是多少？ 15分
问题
组合从0到9的数字，请排列出两组最大的积。每个数字只能用一次。
提示
两组数之和为一定时，两组数的差越小，其积也就越大。那么我们设两个组数分别为
a＋b、a…b、就会得出
（a＋b）（a…b）=a2－b2
所以可以得知 b=0时的积最大。
解题 最大的积是多少？
两组数的第一位数是9和8的情况下，两组数的差最小，积也最大。
下一位数是6和7，如果和9和8组合在一起，即 96和87。这两组数的差最小，积也最大。
（96…87=9、97…86=11）
同样，把接下来的位数4和5像964、875这样组合，两组数的差最小，积也最大。
再把下一位的数2和3像9642、8753那样组合，两组数的差最小，积也最大。
把最后的0和1也像96420、87531这样组合，由于两组数的差最小，所以积也就最大。
这就是我们想要的答案。
答案 96420和87531
5、同时打开 20分
问题
水槽上安装着3个水龙头。第1个龙头打开10分钟、第2个龙头打开15分钟、第3个龙头
打开30分钟后水槽里的水流完。
那么请问，如果把3个水龙头同时打开，经过几分钟水槽会空呢？
提示 注意每个龙头1分钟的流量。
解题 同时打开
设水槽里的水量为V，把第1个龙头、第2个龙头、第3个龙头打开时1分钟的流量分别设
为V1、V2、V3 于是有：
（算式省略）
设打开3个龙头后，水槽里的水流完的时间为t 于是
（算式省略）
答案 5分钟
第二部分第2节
6、牧草是边吃边长的 30分
问题
这是牛顿（1642～1727）想出来的问题。
把9头牛放牧在2英亩的牧场上，16天把牧草吃光。又把18头牛放牧在3英亩的牧场上，10天把牧草吃光。
那么请问，把35头牛放牧在5英亩的牧场上，多少天能把牧草吃光？
关于面积单位，我们假定放牧前牧草的量和每天牧草生长的量相同。并且每头牛每天吃
的牧草的数量也相同。
（图略）
提示
虽然用单纯的比例计算就可以求出结果，但是牧草在被吃掉的同时也是生长的，所以不是那么简单哪。
解题 牧草是边吃边长的
设在1英亩牧场里放牧前所生长的牧草量为u、每天生长的牧草量为v、一头牛每天吃
的牧草量为w， 那么
2u＋16×2v=16×9w ……①
3u＋10×3v=10×18w ……②
根据①x3…②x2、36v=72w 所以 v=2w
代入算式①， u=40w
那么我们把所求的天数设为t
5u＋tx5v=tx35w
把 v=2w、u=40w 代入算式
200w＋10tw=35tw
所以 t=8天
答案 8天
小知识
万有引力的发明者、微积分的创始人牛顿，非常喜欢猫咪。为了让猫咪出入自由，牛顿
在家里到处开了好多通道口。
猫咪在生小猫的时候，牛顿高兴极了。他让男仆在猫妈妈的通道口旁边开一些小洞。男
仆不明白为什么开这些小的洞，牛顿非常认真地“是小猫的通道口呀”。
7、13 ＋ 23 ＋ 33 ＋ …等于多少？ 30分
问题
（算式省略）
那么，（算式省略）等于多少呢？
提示
请注意n的立方可以用n个连续奇数的和表示。（例如：3的立方是3个连续奇数7、9、11之
和）
解题 13 ＋ 23 ＋ 33 ＋ …等于多少？
n的立方可以用n个连续奇数的和表示，也就是�
